歸納原則
為了證明一堆有序物件當中的全部東西皆具有某種性質，可以先證明第一個東西有此項性質，然後再證明，若其中任意一個東西具有該性質，則下一個東西也有此性質。
如果可以一件接著一件做，數學家就會一直做下去。─某面牆上的塗鴉智慧
推理法是一種邏輯推論，是從一般情況推導到特殊情況。歸納推理法和溯因推理法（逆推法）則是兩種非演繹推理法。下面這個具體的例子可以幫忙區別歸納、演繹及溯因推理法。
推就是要從世界上的模式和規律中，找出尚未觀察到的或是未知的事物。歸納的結果不一定非得是正確的，得出的僅是一個推論（這個布袋裡的所有豆子都是白色的），不一定要和前提一樣為真（從這個布袋中拿出來的豆子是白色的）。歸納推理僅是發現有可能的事實。我們隨時隨地會用到歸納推理。但是哲學家當中的懷疑論者反對歸納推理。一般來說，歸納推理法並未考慮所有的個別情況，因此某些未考慮到的情況有可能會與所做出的歸納互相矛盾。所以，歸納得出的結論在形式邏輯上並不被接受。
機率理論的邏輯
10% 的偷車賊是左撇子。所有的北極熊都是左撇子。因此如果您的車
被偷了，有10% 的機率是北極熊偷走的！！？？─查普曼－可立（J. Chapman-Kelly）
除了日常生活上的實際運用之外，歸納推理還有一連串哲學考慮之下的上層結構。由哲學家古德曼（Nelson Goodman）首先提出，在此我們由龐士東（WilliamPoundstone）所改寫的一個例子，來看看使用歸納推理之後會發生什麼事情。有位珠寶商檢查一顆綠寶石。「又是一顆綠色的綠寶石。」他想。「這些年我看過不下上千顆綠寶石，每一顆都是綠的。」這位珠寶商因此得出一個假設：所有的綠寶石都是綠色的。這是個歸納推論，而且看似合理。
街上另外一邊也有一位同樣接觸過許多綠寶石的珠寶商。他是印第安巧克陶族（Choctau），只會說巧克陶語。從人類語言學的角度來看可以發現一件有趣的事，巧克陶語並不區分藍色和綠色，同一個詞可以同時用來表示兩種顏色。但在巧克陶語中，卻有okchamali（一種會發光的藍或綠）、okchakko（一種暗沉的藍或綠）之分。巧克陶族珠寶商說：「所有的綠寶石都是okchamali 的。」這也是一個歸納推論，同樣根據了他看過的上千顆綠寶石。
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在同一條街上還有一位經驗同樣豐富，只會說一種稀有語言Gruebleen 的珠寶商。就如德語或巧克陶語，Gruebleen 這種語言也有自己對顏色的概念。Gruebleen 語沒有描述綠色的詞彙，但有一種被稱為grue 的特質（一個受到古德曼影響而產生的人造詞彙，由green 和blue 結合而成，另外還有bleen 這個詞）。所有具有grue 特質的東西，在2019 年12 月31 日午夜之前都是綠的，一過午夜就是藍的。而稱為bleen 的特質則是：在2019 年12 月31 日午夜之前是藍的，午夜之後變綠。如果要跟一個說Gruebleen 語的人，解釋我們所用的綠色一詞，可以跟他說：就是在2019 年12 月31 日午夜之前是grue，午夜之後是bleen 的那個東西。對於熟悉grue 和bleen 兩種概念、說Gruebleen 這種語言的人，「綠色」是一種聽起來十分人為的用語，他們對於這兩個顏色的定義，是以一個特定的時間點為參考點。也就是說，grue 在德語裡的解釋和綠色在Gruebleen 語裡的解釋是對稱的，所以我們沒有辦法說哪個語言在這方面更為基本。對那位說Gruebleen 語的珠寶商而言，目前所有的綠寶石全都是grue 的。
現在請各位想像一下，我們同時在三位珠寶商面前擺上一顆綠寶石，並問他們這顆綠寶石在2020 年的顏色為何。三個人異口同聲說，他們在執業多年來的經驗裡從來沒有看過一顆綠寶石會變色。德國珠寶商預測，眼前的綠寶石在2020 年還是綠的。巧克陶族珠寶商說，它的顏色會是okchamali。而說Gruebleen語的珠寶商表示，這顆綠寶石在2020 年是grue 的。但等一下！在2020 年，grue意指藍色。三位珠寶商與綠寶石接觸的經驗同樣豐富，而且都使用了歸納推理，但說Gruebleen 語的珠寶商做出的預測，卻與說德語的珠寶商恰恰相反。這個自相矛盾絕對不能毫無意義地被忽視：2020 新年時，上述的預測至少有一個是錯的。
演繹推理的結果不容爭辯，也可以說一定是正確的。從形式邏輯看來，演繹推理的結果為有效的結論。在數學上，也可以盡量使用演繹推理原則的結構。但是嚴格來說，演繹邏輯推理並未擴充已知知識的數量，它不過是把已經知道的事物換個方式來表達。
根據規則和結果所得的結論雖然十分有可能正確，但不一定必為真。嚴格說來，這其實是非常粗略的邏輯，因為得出的結論十分不確定，如果正確，頂多也是碰巧，而且也沒有任何其他可以佐證的證據。和歸納推理相比，不僅是量的差別，也是質的差別。透過溯因推理得出的結論，是建立在間接證據的猜測，推理出一個觀察結果的最佳解釋。這個結論有可能為真，因而得悉潛在的真相。日常生活中我們經常做出如此的推論，像是想證明嫌犯有罪的警探，或是要根據特定症狀來做出初步診斷的醫生，這些事務的本質裡也都存在著溯因推理的結論。
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將以上幾種推理法分門別類過後，現在要介紹的完全歸納法（數學歸納法）就是我們的下一個思考工具。數學歸納法的概念，最早是在1654 年由巴斯卡（Blaise Pascal）建立起來的。一種只需要兩個步驟就可以檢驗眾多、甚至是無限多個命題的基本原則。只要其中的命題可以排序、且任何一個命題與前一個命題之間存在著特定關係，歸納法可能就會適用。我們在思考時經常選擇採用歸納原則，譬如要證明一個關於所有自然數的命題是否成立。為了證明一個取決於n的命題A(n) 對任何一個自然數n 都成立，我們先將那些使得命題A(m) 為真的自然數m 所成的集合稱為M。然後我們必須考慮M 是所有自然數1、2、3、……的集合。一個可能的進行方法是分成兩個邏輯步驟：第一步先證明，A(1) 是真確的命題，而第二步是驗證，若對於任意自然數m，從A(m) 成立可推導出A(m + 1)也為真，那麼這個命題對於下一個自然數也成立。因為聽起來還是十分抽象，所以我想把這個基本結構具體解釋一下。
如果已知某個取決於n、而要證明對於所有n 皆成立的命題（例如20 + 21 +22 + … + 2n = 2n+1 − 1），首先可證明它對n = 1 為真（歸納起始點），再來，對任意自然數m，若從n = m 時命題會成立可以推導出n = m + 1 時命題也會成立（歸納步驟），那麼這個命題對所有的自然數n 皆成立。論證過程的兩個部分同樣重要。沒有歸納起始點的歸納步驟，以及沒有歸納步驟的歸納起始點，都是不完備的，無法證明所有自然數n 的情形。
透過爬樓梯的過程的比較，可以幫助我們更了解數學歸納法。成功的爬上樓梯包含兩個層面。第一必須知道如何爬上第一層階梯。其次必須找出一個從某一階爬到下一階的方法。一旦這兩關都會了，那麼便可以登上第一階，然後從第一階爬上第二階、從第二階爬到第三階等等，而可登上任何一階。如果在第一階就失敗，或是無法從第一階到下一階的話，整個過程就進行不了。
數學家將歸納原則內化了，遠遠就能察覺這個方法是否能、從哪裡、該如何成功用來解決某個特定問題。
不懂數學的門外漢卻對這個方法保持著懷疑的態度。偶爾可以聽到他們反對數學歸納法的論點，例如有待證明的地方已被當成歸納步驟的前提。事實並非如此。在歸納步驟裡證明的是一個條件語句：若一個要被證明的命題在特定情況下是對的，則對下一個情況也是對的。但如果找不到這種情況，那麼前後情況之間的連結就沒有邏輯意義了。這是條件推論的中心思想之一。
然而條件推論也有它的陷阱。所以我們先來談談這種類型的推論及伴隨而來的陷阱。
許多人在條件推論上產生適應困難，這通常是發生在處理條件句時。一個條件句是由兩個敘述P 與Q 組成，兩者以「若⋯⋯則⋯⋯」的結構合成一句：若P，則Q。譬如：「如果有人做了一場旅行，那他一定有故事可講。」或是：「如果他們還沒死的話，那麼就會從此過著幸福快樂的生活。」
條件推論的有效變體在形式邏輯上稱為肯定前件（Modus ponens），具有以下結構：從蘊涵關係「若P 則Q」以及P 為真，可推得Q 也為真。因此，肯定前件是由前提（「某人去旅行」）推斷出結論（「他一定能講些東西」）。
這是簡單的條件推論形式，通常連學齡前兒童都能大致掌握。
第二種複雜許多的條件推論形式為否定後件（Modus tollens），具有以下結構：從蘊涵關係「若P 則Q」以及Q 的反面為真（非Q），可推斷出P 的反面為真（非P）。由此看來，否定後件是從否定的結論（「他沒有東西能講」）推理出否定的前提（「他沒去旅行」）。
儘管多數孩童都能掌握肯定前件這種推論形式，有些成年人在碰到否定後件這種推論形式時，卻出現問題，錯誤地應用在：從蘊涵關係「若P 則Q」以及Q為真，得出P 也為真。這是無效的結論，用剛才所舉的例子來看就會明白，不是每個有故事可講的人，之前都必定旅行過。其他的活動也能提供故事題材。
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在此情況下其他可以想到的推論形式，即從蘊涵關係「若P 則Q」推導出「若非P 則非Q」，邏輯上來說也不成立。由剛剛的例子，就會是：「沒有旅行的人，就沒有東西好講」，而這是錯的。有些人雖然沒旅行，還是有話題可以講。
為了感受一般人在否定後件上遇到的困難，我們來看看華森（P. C. Wason）在1960 年代提出的選擇任務實驗。華森在受試者的面前放了四張卡片，每張卡片有一面是英文字母，另一面是數字。同時他告訴他們一項規則：「如果一張卡片有一面是母音，它的另一面必定是偶數。」受試者的任務就是要決定應該翻開四張卡片當中的哪幾張，來驗證這個規則。華森的四張卡片如下：
如果我們將「卡片的一面是母音」這句話簡寫成P，把另一句「卡片的另一面是偶數」簡寫成Q，那麼便能將剛剛所提的規則寫成蘊涵關係「若P 則Q」。印著A 的卡片，代表的是屬於蘊涵關係的肯定前件（前提P 為真），而印著7的卡片則代表否定後件（結論Q 不正確）。為了驗證這項規則，必須檢查肯定前件和否定後件是否有效。因此我們必須將A 卡和7 卡翻面。至於剩下的D 卡和4 卡，代表的非P 和Q，不管它們另外一面印的是什麼，都不會影響規則的正確性。
華森選擇任務的實驗結果可以得出以下解釋：絕大多數的受試者都知道如何運用肯定前件，因為他們選擇翻開A 卡，但只有少數人正確運用否定後件。
否定後件之所以失敗，通常在於直接從結果來推斷原因，這當然站不住腳。結果的發生，頂多只會為原因增加說服力。會錯誤使用否定後件，可見人類傾向用非演繹式的推理。大體而言，我們可以將這種與生俱來的思考方式這麼總結：如果從我的假設P 可以預測出事件Q，又如果根據既有的知識程度，事件Q 的發生機率很低，那麼當事件Q 發生了，我的假設P 就變得更可信。換句話說，我們觀察到不尋常的事件Q。但如果P 為真，那麼Q 就是理所當然之事。由於如此，當Q 發生時，就有理由說P 也為真。因此，溯因推理的規則會導致假設P變得更具說服力。這是一種合理的論證，但不合乎邏輯。嚴格的從邏輯上看來，我們根本無法從「若P 則Q」和「Q 為真」推理出任何結果。這樣的推論不具邏輯說服力，而只是合理的推論。但溯因推理規則在日常生活和科學中仍舊十分重要，因而也用於人工智慧，來模擬正常人類的思考模式。溯因推理在許多科學領域中根本就是科學方法的典範：如果某個科學假說（或理論）P 做了一項預測Q，隨後Q 也真的發生了，這個科學理論便贏得支持。如果有許多個假說或理論競相解釋某個事實，那麼一個驗證理論的可能性便在於，先從這些假說推導出結果，然後做實驗，看看這些結果是否會發生，或說有哪些結果會發生。如果某個理論預測一個結果，而這個結果真的發生，此理論便獲得支持，但未受到證明。相反地，如果發生的事件與理論預測相牴觸，這個理論就會失去威信，甚至被瓦解。
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就像這一章開頭提到的，我們還可以注意到，一般而言歸納推理是從特殊情形推到一般情況的推理形式。數學歸納法也是從特殊情況推至一般情形，但是在本質上並非歸納推理，而是演繹推理法。說得更精確些，數學歸納法的論證是經過演繹證明的：因為包含了所有的情況，所以這種歸納法（在數學上）是完備的。數學歸納法讓我們看到，如何從一個論點的成立，然後透過驗證唯一一個蘊涵關係，擴展到所有可能的情況。現在你也許可以看得更清楚，這種推理法的本質為何。
在前面描述的數學歸納法運用中，用自然數編號的命題會一個接一個地處理。當然也可以用別的方式處理所有的自然數；例如在歸納步驟時不是從n 推到n + 1，而是從n 推到2n，之後再將因此產生的缺口用倒推的方式補上，從命題對n 成立，來證明命題對n − 1 也成立。這就是所謂的正推－倒推－歸納法。如果只是為了證明某命題對於所有自然數1、2、⋯⋯、m 為真，在歸納步驟時也可以使用倒推的步驟，證明命題在從n 推到n − 1 時也成立（倒推歸納法），而歸納起始點，就會是證明當n = m 時命題成立。
K 先生只畫黑白作品，而且是後現代風格；不像普通的畫作，K 先生的畫只有直線，直線交錯產生的區塊他便畫上黑或白。K 先生的經驗是，不管畫了幾條直線，不管直線如何交錯，每一個（被直線分隔開的）區塊的顏色都不同，例如下圖中n = 4 條直線的圖案：
現在來想像一下有任意n 條直線和所形成的區塊，每條直線的「左邊」和「右邊」代表的是有意義的概念。
現在使用數學歸納法的風格，先看只有一條直線時的情況。一條直線將一個平面分成2 個區塊。顯然可以畫上不同的顏色。這不難。接下來我們假設被n 條直線分割的平面，其著色的區塊是符合我們的條件。現在加上一條直線G，位置隨便，只要不和之前的直線重疊即可。這條直線分開了一些已經著上顏色的區塊，而從新的直線的位置看來，分成左邊和右邊。我們現在把所有新直線G 左邊的區塊重新著上顏色。這個動作不僅影響了被G 所分隔的區塊，還有所有在G 左邊，但是不和G 相鄰的區塊。重新著色後G 右邊區塊的上色也符合規則，所以新區塊的著色也成立。這就是證明。
在第二個數學歸納法的例子裡，我們來看看二項式係數和2 的幕次之間看似純屬理論的關係。對於所有自然數n，下面的式子都成立：
B(n, 1) + 2B(n, 2) + 3B(n, 3) + ⋯ + nB(n, n) = n2n-1 (18)
n = 1: B(1, 1) = 1!/(1! ⋅ 0!) = 1 = 1 ⋅ 20
我們先假設，當任意自然數n = k 時(18) 式成立，也就是
B(k, 1) + 2B(k, 2) + 3B(k, 3) + ⋯ + kB(k, k) = k2k-1
S(k + 1) = B(k + 1, 1) + 2B(k + 1, 2) + 3B(k + 1, 3) + ⋯ +
把等號左右兩邊分開計算，便可驗證上面的式子。我們再次看到富比尼原理發揮作用。根據二項式係數的定義，左式是指從n 個人中選出k 人（k 人小組）的方法數。右式的解釋為：選出任何一人P。B(n − 1, k) 是選出不含P 在內的k 人小組的方法數，而B(n − 1, k − 1) 則是包含P 在內的k 人小組的方法數。兩者之和便是從n 人中選出k 人小組的方法數。
在這一步的考慮之後，我們可以把剛才的式子重新寫成：
S(k + 1) = [B(k, 0) + B(k, 1)] + 2[B(k, 1) + B(k, 2)] + ⋯ + k[B(k, k – 1)
+ B(k, k)] + (k + 1)B(k, k)
= B(k, 0) + 3B(k, 1) + 5B(k, 2) + ⋯ + (2k + 1)B(k, k)
= [B(k, 0) + B(k, 1) + B(k, 2) + ⋯ + B(k, k)] + 2S(k)
在倒數第二步，我們使用了101 頁的(10) 式來化簡中括號裡的式子。
這是個完整的證明。但我們在這個例子多停留一會兒。受到富比尼原理發揮用的鼓勵，我們決定替複雜得多的(18) 式尋找一個類似的論證：一個比數學
為此我們先自問以下的問題：從n 人當中選出k 人小組，而k 人小組裡有一人是主席，可有多少種選法？ k 人小組可以選第1 到第n 個成員，而k 人小組中的任何成員均可當主席。答案：選出k 人小組一共有B(n, k) 種選法，而對於每種選法，又有k 種選出主席的方法，根據乘法原理，就有kB(n, k) 種可能的選法。好啦，k可以從1任意變化到n。這就產生了kB(n, k)從1到n的加總。這也正是(18)式的左半邊。太好了。那該如何求出右半邊呢？十分簡單。我們可以換個方式計算，先從n 人中選出主席，這一共有n 種選法。然後再從剩下的n − 1 人中選出k 人小組的其他成員。從n − 1 人中，不是被選進k 人小組，就是被排除在外，所以對每個人來說都有兩種可能。對n − 1 人而言，根據乘法原理，就有2n-1 種可能。因此，同樣是根據乘法原理，總共會有n2n-1 種選法。十分漂亮的證法，也是公式(18) 的第二種證明方法。
還有一個同樣機智、在某方面看來甚至更漂亮的方式來證明(18) 式：透過S(n)/2n。這個比率用文字來敘述，意思為含有n 個元素的集合{1, 2, 3, ⋯, n} 的所有子集合的平均大小。這是因為，有k 個元素的子集合恰好有B(n, k) 個，而所有的子集合總共有2n 個。為什麼呢？因為對於n 個元素的每個元素來說，也永遠有兩種可能：屬於某個子集，或不屬於某個子集。
